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高中几何证明题
文章来源:深圳家教  文章作者:深圳家教网  点击:4685  录入时间: 2021/6/24  
高中几何证明题

图5
1、(本题14分)如图5所示, 、 分别世 、 的直径, 与两圆所在的平面均垂直, . 是 的直径, , .

(I)求二面角 的大小;
(II)求直线 与 所成的角.
 
 
解:(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角,
依题意可知,ABCD是正方形,所以∠BAD=450.
即二面角B—AD—F的大小为450
 
(Ⅱ)以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0, ,0),B( ,0,0),D(0, ,8),E(0,0,8),F(0, ,0)
所以,
设异面直线BD与EF所成角为 ,则
直线BD与EF所成的角为
 
 
2.(本题满分 分)
如图,已知正三棱柱 — 的底面边长是 , 是侧棱 的中点,直线 与侧面 所成的角为 .
     (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长;
(Ⅱ) 求二面角 的大小;
(Ⅲ)求点 到平面 的距离.
 
 
解:(Ⅰ)设正三棱柱 — 的侧棱长为 .取 中点 ,连 .
是正三角形, .
又底面 侧面 ,且交线为 .
侧面 .
连 ,则直线 与侧面 所成的角为 .   ……………2分
在 中, ,解得 .       …………3分
此正三棱柱的侧棱长为 .                         ……………………4分
 注:也可用向量法求侧棱长.
(Ⅱ)解法1:过 作 于 ,连 ,
侧面 .
为二面角 的平面角.           ……………………………6分
在 中, ,又
,  .
在 中, .               …………………………8分
故二面角 的大小为 .               …………………………9分
解法2:(向量法,见后)
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知, 平面 , 平面 平面 ,且交线为 , 过 作 于 ,则 平面 .                      …………10分
在 中, .         …………12分
为 中点, 点 到平面 的距离为 .       …………13分
解法2:(思路)取 中点 ,连 和 ,由 ,易得平面
平面 ,且交线为 .过点 作 于 ,则 的长为点 到平面 的距离.
解法3:(思路)等体积变换:由 可求.
解法4:(向量法,见后)
题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:
(Ⅱ)解法2:如图,建立空间直角坐标系 .
则 .
设 为平面 的法向量.
由  得 .
取                                        …………6分
又平面 的一个法向量                           …………7分
.   …………8分
结合图形可知,二面角 的大小为 .         …………9分
(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2, …………10分
点 到平面 的距离 = .13分
 
 
来源:www.0755-jj.com 深圳家教
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